加零處理

為了便于對序列x(nT_s)進行FFT處理，希望采樣序列長度N是2的整數次冪。而按前面方法確定的N一般不滿足這個條件，為此，通常用給x(nT_s)加零的辦法，使

 

式中，P是正整數; N_x是加零點數。

此外，信號經過FFT后得到的頻諧是離散的譜線，譜線間隔。因此，用離散傅里葉變換來觀看頻諧，只能通過一個“柵欄”來觀看，即只能在離散點處看到真實的頻譜。如果一個頻率分量恰巧落在兩個離散譜線之間，這個頻率分量就會看不到，這稱為“柵欄效應”。為了克服該效應對頻率分辨力的影響，可在原信號的末端補加一些零，這相當于人為地增加了時域截斷長度T,也就能在頻譜形式不變的情況下，變更譜線的位置，減小譜線間隔，以便有可能看到原來看不到的頻譜分量(見圖3-6）。所以，加零可以提高頻率分辨力。

 

頻譜分析常用定理

頻譜分析中經常要用到一些頻譜定理，其實質是傅里葉變換的某些性質，它反映了信號同其頻譜之間的基本關系，常用的頻譜定理包括:

(1)線性疊加定理   如果x(t)和y(t)分別有傅里葉變換X(f)和Y(f),則它們的和x(t)+y(t)有傅里葉變換X(f) + Y(f),如圖3-7所示。

(2)對稱或對偶定理   若時域函數x(t)對應頻譜為F(f),即x(t)? F(f)，則有

 

(3)時間展縮定理    如果x(t)的傅里葉變換是F(f)，則x(kt)的傅里葉變換對為

 

在科學技術的許多領域，傅里葉變換的時間尺度變化這一性質為大家所熬悉，如圖3-8所示，時間尺度擴展(或壓縮)h倍，相應于頻率尺度壓縮(或打辰)h倍。應當指出，當時間尺度擴展時，不僅頻率尺度縮小，而且頻率域里的垂直幅度增大，使曲線下的面積保持不變。在用磁帶機作擴展時間軸和壓縮時間軸的頻譜分析中，這是一個具有實用價值的方法。

     

a)時間沒有擴展    b）時間放慢2倍，k=1/2   c）時間放慢4倍，k=1/4

(4)頻率展縮定理   如果F(f)的傅里葉變換是x(t)，k是實數，則F(kf)的傅里葉變換可由下面傅里葉變換對給出:

 

與時間尺度改變相類似，頻率尺度擴展(或壓縮)k倍，將導致時間尺度壓縮(或擴展)k倍。這個效應如圖3-9所示。當頻率尺度擴展時，時間函數的幅度就增大。

(5)時間位移——時移定理   如果x(t)的自變量t被移動一個常量 ,則可

圖3-9 頻率尺度變化性質

a）頻率沒擴展  b）頻率展縮為1/2，k=1/2   c)頻率展縮為1/4，k=1/4

得到

 

這個變換對的圖解如圖3-10所示?？梢钥闯觯捎跁r間位移而引起了相角 的變化，即

 

圖3-10時間位移性質

a)沒有時移時

    

圖3-10 時間位移性質(續)

b)時移45°時   c）時移90o時   d）時移180°時

應該指出，時間位移并不改變傅里葉變換頻域幅值的大小。